位运算

发布于 2016-09-09  193 次阅读


=== 1. and运算 & ===
and运算通常用于二进制取位操作,例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶,二进制的最末位为0表示该数为偶数,最末位为1表示该数为奇数。
相同位的两个数字都为1,则为1;若有一个不为1,则为0。
00101
11100
(&;或者and)
----------------
00100
=== 2. or运算 | ===
or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值,例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0,对这个数or 1之后再减一就可以了,其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。
相同位只要一个为1即为1。
00101
11100
(|或者or)
----------------
11101
=== 3. xor运算 ^ ===
异或的符号是^。按位异或运算, 对等长二进制模式按位或二进制数的每一位执行逻辑按位异或操作. 操作的结果是如果某位不同则该位为1, 否则该位为0.
xor运算的逆运算是它本身,也就是说两次异或同一个数最后结果不变,即(a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密,比如我想对我MM说1314520,但怕别人知道,于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500,我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值,得到1314520,于是她就明白了我的企图。
相同位不同则为1,相同则为0。
00101
11100
(^或者xor)
----------------
11001
运算结果
x <- x # y
y <- x @ y
x <- x @ y
执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y,由于#和@互为逆运算,那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为(x # y) @ x,如果#运算具有交换律,那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是,x和y的位置互换了。
加法和减法互为逆运算,并且加法满足交换律。把#换成+,把@换成-,我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程(Pascal)。
procedure swap(var a,b:longint);
begin
a:=a + b;
b:=a - b;
a:=a - b;
end;
好了,刚才不是说xor的逆运算是它本身吗?于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程:
procedure swap(var a,b:longint);
begin
a:=a xor b;
b:=a xor b;
a:=a xor b;
end;
注意:位运算版本的交换两数不适用于一个数的自我交换。也就是说,如果上述程序的“b”改成“a”的话,其结果是变量a变成零。因此,在使用快速排序时,由于涉及到一个数的自我交换,因此如果要在其中使用位运算版的交换两数的话,应该先判断。具体的时间损耗在此略过。
=== 4. not运算 ~ ===
not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心,你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数(不能表示负数),那么得到的值就是它与该类型上界的差,因为无符号类型的数是用00到$FFFF依次表示的。下面的两个程序(仅语言不同)均返回65435。
var
a:word;
begin
a:=100;
a:=not a;
writeln(a);
end.
#include<stdio.h>
int main()
{
    unsigned short a=100;
    a=~a;
    printf("%d\n",a);
    return 0;
}
如果not的对象是有符号的整数,情况就不一样了,稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。
=== 5. shl运算 << ===
a shl b就表示把a转为二进制后左移b位(在后面添b个0)。例如100的二进制为1100100,而110010000转成十进制是400,那么100 shl 2 = 400。可以看出,a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方,因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。
通常认为a shl 1比a * 2更快,因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。
定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂,此时可以用shl来定义Max_N等常量。
=== 6. shr运算 >> ===
和shl相似,a shr b表示二进制右移b位(去掉末b位),相当于a除以2的b次方(取整)。我们也经常用shr 1来代替div 2,比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算,效率可以提高60%。


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